मान लीजिए f(x) = cos^{-1}left(frac{2x}{1+x^2} | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(y)$ और $\sin^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}(y)$.दिया गया है $f(x) = \cos^{-1}\left(

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$2\pi$

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(D) हम जानते हैं कि $\cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(y)$ और $\sin^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}(y)$.दिया गया है $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}ight) + \sin^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापन लेने पर,हमें $\frac{2x}{1+x^2} = \sin(2	heta)$ और $\frac{1-x^2}{1+x^2} = \cos(2	heta)$ प्राप्त होता है।$x \ge 1$ के लिए,$f(x) = \left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}ight)ight) + \left(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight)ight)$.$x \ge 1$ के लिए,$\sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}ight) = \pi - 2	an^{-1}(x)$ और $\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}ight) = 2	an^{-1}(x)$.अतः,$f(x) = (\pi - 2	an^{-1}(x)) + (2	an^{-1}(x)) = \pi$,जहाँ $x \ge 1$.इसलिए,$f(1) = \pi$ और $f(2) = \pi$.अतः,$f(1) + f(2) = \pi + \pi = 2\pi$.

मान लीजिए $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \sin^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$,तो $f(1) + f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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